1. MOS 结构

MOS 的结构如图 1-1 a） 所示：

图 1-1：a）MOS 结构；b）平行电容板

令 MOS 的电容为 ，氧化物的电容为 ，半导体内空间载荷区的电容为 ，那么可以得出三者的关系：

图 1-1 b）展示了平行电容板的结构以及常用公式。根据此图可以直接写出 的表达式：

对于半导体一端的电容 ，情况就要复杂一些。根据半导体一侧施加电压的大小以及半导体的类型，其空间载荷区的宽度会随着电压而改变。因此 可以等效为一个随电压变化的可变电容。实际上，本章接下来将用大量篇幅来讨论 随电压变化的关系。一个基本的思路如下：

电压 → 场强 → 面电荷密度 → 电容

2. 表面态

§2.1 表面势

在半导体物理基础知识部分，我们讨论了掺杂半导体的一些性质。当时我们假设这些半导体是无限延长的，即每个硅原子四周都有相应的共价键连接。然而在实际应用中，半导体不能无限延长，总会出现一个边界。在这些边界处，硅原子存在一个未配对的电子而形成悬挂键（Dangling Bonds），而未配对电子对应的能态就是表面态（Surface State）。对于 MOS 结构，半导体一侧的表面态毫无疑问便是氧化物与半导体的边界处，这就是我们接下来要关注的重点。

图 2-1：MOS 结构能带图：a）平带；b）积累；c）耗尽；d）弱反；e）强反

图 2-1 a）展示了在没有外部电压的情况下 MOS 结构的能带图。在不考虑金属和半导体功函数差异的情况下，二者的费米能级应该相等。， 以及 这三个物理量在肖特基结中已经说过，不再赘述。此时半导体的导带、价带和本征费米能级都是平的，因此无外加电压又被称为平带（Flatband）。

现在给 MOS 结构施加外部电压。由于 MOS 结构本质上是一个电容，因此金属端和半导体端的电荷应该等大反向：

对于图 2-1 b）而言，金属端施加负电压，大量电子聚集在金属表面。由于电子浓度上升，其费米能级也应该上升；而半导体端施加正电压，大量空穴聚集在半导体靠近表面的位置，形成了一个由半导体指向金属的电场。这种情况被称为积累（Accumulation）。根据电势连续性，半导体表面（即 处）的势能和金属表面势能相同，即大于零。而无穷远处，半导体体内的电势为零。因此沿着电场的方向电势逐渐降低。由于检验电荷为电子，那么电势能逐渐升高，最终导致半导体的能带沿着电场方向向上弯曲。

同理，对于图 2-1 c）而言，金属端施加正电压，大量空穴聚集在金属表面（或者说电子被抽走），电子浓度下降，费米能级下降；半导体端施加负电压，大量空穴被抽走，形成空间载荷区。电场方向为金属指向半导体。沿着电场的方向电势逐渐减小，电势能逐渐升高，能带沿着电场方向向上弯曲。

我们把半导体表面处的势能被称为表面势（Surface Potential），用 表示。可以发现，表面势的大小决定了半导体能带弯曲的程度。表 2-1 总结了以上所有情况：

表 2-1：表面势与能带弯曲方向总结

			能带（从左到右）
+	+	-	向下弯曲
-	-	+	向上弯曲

令本征费米能级与费米能级之差为 ，那么当 时，又可以细分为三种情况：

• • 空间载荷区宽度 随 逐渐增大 → 这种情况又被称为耗尽（Depletion） → 耗尽层近似
  • 能带图对应图 2-1 c）
• • → 半导体的费米能级位于禁带的上半部分 → 半导体在很小的宽度内由 p 型（费米能级位于禁带下半部分）变为 n 型
  • 继续增大
  • 由于半导体一侧持续施加负电压，电子开始聚集在半导体表面，形成反型（Iversion）
  • 到 和 的距离相对较远 → 反型层中的载流子浓度整体较低 → 这种情况又被称为弱反型（Weak Iversion） → 耗尽层近似依然成立
  • 到 的距离大于 到 的距离 → 电子浓度并没有超过空穴
  • 能带图对应图 2-2 d）
• • 反型层逐渐变宽 → 电场被聚集在半导体表面的电子屏蔽 → 空间载荷区宽度达到最大值
  • 到 的距离小于 到 的距离 → 电子浓度超过空穴 → 这种情况又被称为强反型（Strong Iversion）
  • 能带图对应图 2-2 e）

§2.2 空间载荷区电场

假设空间载荷区内任意一点处的电势为 ，那么按照第一章的思路，我们要求出其对应的场强 。考虑 p 型半导体中存在四种电荷，其浓度分别为：

• 多子空穴浓度 ，热平衡状态下有
• 少子电子浓度 ，热平衡状态下有
• 杂质施主浓度
• 杂质受主浓度

现在可以写出泊松方程：

根据玻尔兹曼统计，我们可以写出 和 与其热平衡状态下的关系：

在热平衡状态下，半导体无穷远处电势为零，故可以写出 ，由此可得：

联立方程（2-2）和（2-3）可得：

方程（2-3）和（2-1）联立即可求出场强，其正负与电势符号相同：

其中 是一个无量纲的函数， 被称为德拜长度（Debye Length）。

那么半导体表面处的场强 可以表示为：

§2.3 空间载荷区电容

有了场强，根据高斯定理可以写出半导体表面处的面电荷密度：

电容即电荷对电压微分的结果，因此 可以表示为：

根据方程（2-5）至（2-7）我们可以总结如下：

3. 表面效应

我们已经知道 一共有五种情况，因此本章将分别讨论不同 值所对应的各种情况。

§3.1 积累

积累时的分析可以简单地概括如下：

• →
• p 型半导体一端施加正电压 →
• 由此可得

§3.2 平带

由于 → 。但是由于我们施加的是很小的交变电压，半导体表面仍然会在德拜长度内 出现感应电荷。我们可以通过求极限算出平带时对应的电容 ：

§3.3 耗尽

耗尽时的分析可以简单概括如下：

• →
• 尽管半导体一端施加负电压，但是费米能级依然低于本征费米能级 →
• 由此可得

由于在这种情况下半导体表面开始出现空间载荷区，因此另一种思路是用耗尽区近似求解空间载荷区宽度进而求出电荷。通过耗尽区近似我们可以写出：

由此可得：

§3.4 弱反

弱反的情况基本和耗尽一致，因此不再赘述。需要注意的是，当 ，此时少子浓度和多子刚好相等， 达到最大值 ：

§3.5 强反

强反的分析如下：

• 费米能级高于本征费米能级 → 电子浓度开始超过空穴 → 外部电场被反型层中的电子所屏蔽 → 因此空间载荷区不再增加

§3.6 深耗尽

关于强反情况的讨论是建立在热平衡基础之上的。金属端表面聚集大量空穴，相对应的，半导体一端也应该在相同时间内聚集大量负电荷。负电荷有两种来源：

• 表面处空间电荷区的受主电离
• 自由电子的热产生

在实际情况中， 往往在很短的时间内突变到目标值。这时自由电子的产生跟不上金属端正电荷的积累，导致半导体端的负电荷全部由受主电离提供。换言之，由于 的快速升高，半导体处于非平衡状态， 会超过 ，经过一定时间后达到热平衡状态，而 也逐渐减小至 。我们把半导体从非平衡到平衡态经过的时间称为弛豫时间（Relaxation Time）。MOS 结构的弛豫时间通常在 1 到 100 秒之间。我们把这种高频下的强反称为深耗尽（Deep Depletion）。

4. 理想 C-V 曲线

总结一下第三章所提到的各种表面效应，我们可以画出理想情况下的 Q-V 曲线，如图 4-1 a）所示。其中数字 1-6 依次代表第三章提到的 6 种表面效应。

图 4-1：a）理想 Q-V 曲线；b）理想 C-V 曲线

据此，我们可以结合图 1-4 a）以及根据方程（1-1）和（1-2）求出 MOS 结构的总电容。我们把施加在 MOS 两端的电压称为栅极电压（Gate Voltage），用 表示。根据测量信号频率的高低，我们将分成三种情况讨论：

1. 低频：10-100 Hz
2. 高频：1k-1M Hz
3. 深耗层： 迅速上升至强反

§4.1 低频

在积累和强反状态下，半导体表面分别聚集大量空穴和电子，因此 是很大的。相对应地， 也很大，因此总电容 。

我们已经讨论过平带时半导体端的电容 ，因此总电容表示为：

达到耗尽条件后，我们就可以直接用耗尽区近似简单地表示总电容：

当 达到弱反条件后，电荷由两部分组成，分别是：

• 空间载荷区的受主电离
• 产生的自由电子

其中受主电离在小电压下占主导作用。随着电压不断增大， 不断增大，最终导致电容达到最小值 。在这之后，产生的自由电子开始占据主导，由于半导体表面不断聚集电子，电荷再次增大，而电容也相应增大，直到达到最大值 。

§4.2 高频

如果测量信号是高频，在进入反型之前的分析和低频相同。在进入反型之后，自由电子的产生与复合跟不上电场频率的变化，因此在高频下所有和反型层电荷相关的电容都是零。随着电压的增大，空间载荷区长度不断增大，最终达到最大值 ，相对于地，高频下的最下电容表示为：

§4.3 深耗尽

深耗尽和前面提到的高低频有一个显著的区别：

• 在高低频情况下，我们都是在 稳定之后测量电容
• 深耗尽则是说从 0 到 的变化瞬间完成

而深耗尽和高频的区别又在于：

• 高频情况下的测量是建立在信号稳定之后的基础之上，因此反型层是存在的，只不过反型层中电子的产生太慢，跟不上信号的变化
• 而深耗尽情况下，反型层来不及无法建立，只有空间载荷区的电荷提供电容，因此耗尽区近似是成立的，而电容也应该按照耗尽的情况继续下降