1. 零偏

§1.1 功函数

在前面的学习中我们知道：

• 对于固体而言，我们提出了一种势阱模型，即通常情况下电子被“困”在势阱中，要想从晶体中跃迁需要额外获得能量
• 相同温度下，对于不同的材料，它们的费米能级是不同的
• 费米能级的位置表征了材料导电能力的强弱
• 费米能级的影响因素有：
  • 温度
  • 掺杂浓度
• 对于两个在接触前拥有不同费米能级的材料，在接触后有：
  • 接触区域能带会发生弯曲，形成势垒
  • 相互接触后会逐渐达到热平衡，此时费米能级处处相等

为了衡量电子从固体表面逸出所必须的最小能量，我们提出了功函数（Work Function） 这一概念。功函数本质上还是功，故可以用电荷乘以电势来表示。图 1-1 a）分别展示了一种金属材料（蓝色）和 n 型半导体材料（橙色）的能带图。在后面的分析中，下标 M 表示金属，下标 S 代表半导体。特别地，这里假设金属的费米能级低于半导体，黄线代表真空能级（Vaccum Level）。图中的物理量有些多，我们一个个来看。

图 1-1：金属-半导体（n 型）结能带图 a）接触前；b）接触后

先看金属材料。由于金属材料属于导体，它的费米能级和导带重叠。（注：实际上，由于表面效应，二者并不重叠，但为了简化先忽略表面效应，认为二者相等，因为这并不影响后续的分析）。金属的费米能级相对于真空能级的电势 可以表示为：

再看半导体材料，它的导带和价带能级分别为 和 。其本征费米能级 位于 和 正中间。由于是 n 型半导体，其费米能级 高于 。半导体的费米能级相对于真空能级的电势 可以表示为：

此外，我们引入电子亲合能（Electron Affinity）的概念，来描述使一个电子脱离一个气态的离子或分子所需耗费，或是释出的能量，其电势用符号 表示。对于 n 型半导体内而言，显然它的电子亲合能应该对应从真空能级到导带能级的差值。另外用符号 表示 n 型半导体从导带到费米能级之间的电势，则三者的关系为：

§1.2 肖特基接触

金属和半导体的接触又被称为肖特基接触（Schottky Contact）。图 1-1 b）展示了金属和半导体接触后，且达到热平衡后的能带分布。对于金属而言，其费米能级在接触后也几乎不会发生变化。因此，接触的过程实际上就是半导体的费米能级不断下降的过程。由于我们假设 （或者说 ），故一部分半导体中的电子会流入金属表面，留下一个带有正电荷的空间载荷区，在图中表现为能带发生弯曲，形成势垒，称为接触势垒（Interface Barrier）。半导体的自建电压依然用 表示，那么这个电压应该为金属和半导体电势之差：

对于金属而言，其费米能级（或者说导带能级）要克服的势垒被称为肖特基势垒（Schottky Barrier），其电压用 表示，联立方程（1-1）到（1-4）有：

§1.3 欧姆接触

如果我们假设 ，那么方程（1-4）和（1-5）依然成立。但是此时半导体内不再有耗尽层，取而代之的是一个电子的强化层（Enhancement Layer）。对于金属而言，肖特基势垒消失，那么可以推出 。在这种情况下，这种接触的电阻非常小，因此也被称为欧姆接触（Ohmic Contact）。欧姆接触相比于肖特基接触，其区别在于：

• 禁带中的表面态不可忽略
• 欧姆接触通常在高掺杂半导体中形成，其掺杂浓度通常大于

2. 正偏

§2.1 理想伏安特性

给肖特基结施加正向电压 ，接触势垒变小，肖特基势垒不变，电子更容易从半导体流入金属。我们把这种通过势垒的电子运动称为热电子发射（Thermionic Emission）理论。这一理论源于势垒高度远大于 这一假设，因此我们依然可以使用玻尔兹曼近似。因此，肖特基结的理想伏安特性可以类比 pn 结写出：

其中 是反向饱和电流密度，表示为：

其中 被称为有效理查森常数（Effective Richardson Constant），其大小和电子的有效质量以及波矢数有关。

§2.2 肖特基效应和镜像力

金属材料在高的外部场强下会产生肖特基效应，具体解释为：

施加的外部电场足够强 → 表面态的电子发射将会增强 → 金属表面的功函数减小 → 肖特基势垒下降

接下来的问题自然就是求出肖特基势垒下降了多少。令肖特基势垒下降了 ，可以预见的是，这个值应该和场强有关。

现在假设距离金属表面 处的电解质中存在一个电子，这个电子可以形成电场。那么我们假设在金属内部相同距离存在一个等大的正电荷，二者之间存在库仑力。由于这个正电荷是假象出来的，因此该库仑力也被称为镜像力（Image Force），可以表示为：

如果假设电介质中不存在恒定电场，且在无穷远处电势应该为零，那么电势的表达式为：

现在考虑电介质中的恒定电场，方程（2-4）应该修正为：

既然高场强下肖特基势垒会减小，也就意味着肖特基势垒存在一个最大值。假设最大值对应的距离为 ，那么最大值处对应的倒数应该为零：

那么 就可以表示为：

而方程（2-2）也应该改写为：

§2.3 n^- 区电阻

在 pn 结中我们讲过，对于功率半导体而言，其 n^- 区会做的很长，以实现足够大的反向电压。令肖特基结中 n^- 区的长度为 ，那么电子受到正向电压而做的漂移运动将产生电阻。由于 n^- 区通常是通过外延（Epitaxy）工艺形成，这部分电阻也被称为外延电阻（Epitaxial Resistance），用 表示。

在 01-基础知识-Part-2-平衡篇中我们假设杂质全部电离，得到了 n 型半导体中电子漂移运动的电阻率 ：

通过 pn 结反偏部分的学习，假设空间载荷区形成的是三角形电场，有：

同时也可以写出一维的泊松方程：

联立方程（2-9）和（2-10）可以把 用 和 表示：

那么 可以表示为：

通过方程（2-11）可以看出，外延层电阻和临界场强的三次方成反比。也就是说， 越大， 越小。因此对于单极型器件而言，相对于硅，我们通常使用宽禁带的碳化硅以减少通态电阻。

最终，肖特基结的正向电压可以表示为：

3. 反偏

在反偏时对 和 的求解过程和 pn 结相同，在这里便不再赘述，只写出公式作为结论：

4. pn 结 vs. 肖特基结

pn 结和肖特基结的不同点如下：

• pn 结
  • 接触类型：半导体 — 半导体
  • 半导体材料：硅
  • 极性：双极型
  • 零偏：双边势垒 → 较高
  • 正偏：少子从中性区扩散至对面
  • 反偏：理想饱和电流 + 杂质产生 + 雪崩倍增
• 肖特基结
  • 接触类型：金属 — 半导体
  • 半导体材料：碳化硅
  • 极性：单极型
  • 零偏：单边势垒 → 较低
  • 正偏：多子从半导体端漂移至金属端（电子热发射）
  • 反偏：理想饱和电流 + 杂质产生 + 雪崩倍增 + 肖特基效应