1. 基础知识的两点补充

本章对基础知识做两点补充：准费米能级的概念和扩散运动在 pn 结中的应用。最后将阐明 pn 结正向导电的原因。

§1.1 准费米能级

在基础知识篇我们讲到了半导体的费米能级，它使用的前提条件是半导体处于热平衡状态。然而除了热平衡状态，半导体在注入时由于过剩少子的存在而处于非平衡状态，此时费米能级的概念将不再适用。但是，我们可以近似的认为在特定的时刻，存在一个数值来描述电子或空穴的化学势，称为准费米能级（Quasi-Fermi-Level）：

在小注入的条件下，非平衡态产生的过剩载流子浓度远小于多子浓度，故可以认为多子的准费米能级近似等于热平衡下的费米能级；对于少子而言，非平衡态浓度相比热平衡时有明显的变化：

• 如果少子是空穴，则空穴的费米能级更靠近价带
• 如果少子是电子，则电子的费米能级更靠近导带

§1.2 扩散理论

在 Part 1 我们求出了热平衡条件下 pn 结的内建电压 ，且知道它的方向由 n 指向 p。现在考虑正偏的情况，即从外部施加一个由 p 指向 n 的电场，命名为 。图 1-1 分别展示了 pn 结在零偏和正偏时的能带图。从图中可以看出，在正偏时，由于外部正向电场的作用：

• 载流子注入 pn 结 → 非平衡状态 → 费米能级 消失，取而代之的是 p 区和 n 区的多子准费米能级 和
• 内建电场与外部电场反向 → p 区和 n 区的电势差减小 → 势垒高度降低 → 电子从 n 区扩散至 p 区，空穴从 p 区扩散至 n 区

图 1-1：pn 结能带图 a）零偏；b）正偏

通过以上结论我们还可以总结费米能级和准费米能级的物理意义：

• 费米能级 → 半导体热平衡的标志 → 半导体各处的能级皆为费米能级
• 准费米能级 → 半导体处于非平衡状态 → 存在载流子的浓度差 → 载流子的扩散运动。

§1.3 pn 结正偏导电的原因

如果我们把除去空间电荷区以外的区域统称为中性区，那么在正偏时，由于外部电场的载流子注入，中性区的少子将扩散至对面，其定向移动形成了扩散电流，最终导致 pn 结导通。这也是少子载流子寿命如此重要的原因。

也许读者会有疑问，既然有外部电场的存在，那么载流子不仅会做扩散运动，还有漂移运动才对。这是因为我们假设电场全部位于空间电荷区，中性区的电压忽略不计。这又被称为耗尽区近似。零偏时，空间电荷区载流子的扩散运动和漂移运动相互抵消，宏观的反映就是空间电荷区不存在载流子。而正偏时，这种动态平衡被打破，空间电荷区载流子的扩散运动大于漂移运动。

2. 少子浓度计算

上一章说明了少子对于 pn 结正向导电的重要性，本章将计算少子在 pn 结各个位置浓度的变化。

图 2-1 a）展示了正偏下的 pn 结电压和载流子示意图。b）描述了各个区域中多子和少子浓度的分布情况。绿色代表空穴浓度，红色代表电子浓度。载流子浓度的下标 和 分别代表 p 区和 n 区处于热平衡状态。那么第一个问题便是，为什么载流子浓度分布符合图 2-1 b）呢？以从 p 区到 n 区为例进行分析，n 区到 p 区同理：

1. 热平衡时 p 区多子为空穴，其浓度为 。假设受主杂质完全电离，那么 ，热平衡下 p 区和 n 区空间电荷区的长度分别为 和
2. 现在外部电场开始注入载流子，p 区的多子空穴进入空间载荷区，从 扩散至 。这是第一个边界条件，即从平衡到非平衡态的边界条件
3. 假设 pn 结的电流是连续函数，那么根据三大方程之一的连续性方程可知，在 处是第二个边界条件。因为在这一点，空穴既是 p 区多子扩散进入 n 区的最后时刻，又是作为 n 区少子与 n 区多子电子进行复合的开始
4. 空穴进入非平衡状态，与 n 区的多子电子进行复合，其浓度开始下降
5. 最终空穴作为 n 区的少子，和多子电子的复合达到动态平衡。空穴进入热平衡状态，其浓度由热平衡公式得出：

图 2-1：基于耗尽区假设条件的正偏 pn 结 a）电压及载流子示意图；b）载流子浓度；c）电流密度

§2.1 边界条件 1: 从热平衡到非平衡

在 Part 1 中推导出了内建电压公式：

以空穴为例进行分析。代入 和 可以求出空穴分别作为 p 区的多子和 n 区的少子在热平衡条件下的关系：

现在推导非平衡态的载流子浓度。在小注入的前提下，过剩载流子对多子的影响可以忽略不计，故可以认为 。这里重点关注空穴作为少子在 n 区的浓度 。把方程（2-2）中的 替换为 ，联立方程（2-1）可得：

同理对于电子有：

§2.2 边界条件 2: 从复合开始到热平衡

在基础知识部分已经推导出了连续性方程。以 n 区为例，少子为空穴，有：

其中 ，而 是常量，不随时间和空间变化，再考虑一维的情况，联立输运方程和小注入条件下的 SRH 复合机制，可以把方程（2-4）改写为：

这个方程看起来依然很繁琐，但如果我们仔细分析 n 区内 的区域就会发现：

• 由于我们假设电场只存在于空间载荷区，故
• 少子空穴处于热平衡状态的开始，故产生率
• 由于非平衡的非稳态只有几纳秒，所以我们可以只分析非平衡稳态的情况，那么少子随时间的变化率将为 0

这样一来，方程（2-5）可以化简为：

再观察方程（2-6），我们发现左边第一项中有少子浓度对长度的二阶求导。而物理公式如果要成立，它们最终化简后的单位一定是相同的。因此，我们引入扩散长度（Diffusion Length）的概念，令 ，将方程（2-6）改写为：

同理在 p 区内的少子电子浓度也应该满足：

接下来就是解（2-7）和（2-8）这两个二阶微分方程。它们的通解可以分别表示为：

要求它们的特解，就必须知道边界条件才行。根据之前的假设，中性区的少子处于热平衡状态，那么就可以得到：

把（2-11）代入（2-9），（2-12）代入（2-10）可以求出 。再把方程（2-3）作为另一组边界条件，最终解得：

通过方程（2-13）和（2-14）我们知道：

• 空穴从 p 区扩散进入 n 区后，它的浓度呈指数形式衰减，直到热平衡状态成为 n 区的少子
• 电子从 n 区扩散进入 p 区后，它的浓度呈指数形式衰减，直到热平衡状态成为 p 区的少子

3. pn 结的伏安特性

§3.1 理想 pn 结的伏安特性

有了少子浓度的计算公式，我们就可以根据扩散电流公式计算少子扩散到对面中性区的漂移电流：

从方程（3-1）和（3-2）中可以看出，少子的扩散电流随着距离而指数衰减.尽管如此，pn 结的总电流密度应该是常量。总电流与少子扩散电流的差就是多子电流。这一关系如图 2-1 c）所示。总电流密度等于空穴和电子电流密度之和，分别取空穴漂移电流在 和电子漂移电流在 的值，有：

其中参数 被称为反向饱和电流密度。反向的意思是说，外部电压 不仅可以为正（即正偏），还可以为负（即反偏）。如果反偏电压大于几个热电压值（即 ），反偏电流的大小就与反偏电压无关，进入饱和状态。根据方程（3-3）我们可以反推出正向施加电压和电流密度之间的关系：

从方程（3-4）中我们还可以看出 和 成反比关系：

• 当 pn 结正偏时，考虑导通损耗，我们当然希望正向压降越小越好
• 然而低的正向压降 → 高的反向饱和电流 → 高的截止损耗

要明确一点的是，损耗是无法避免的。我们只能根据实际的应用场景做出妥协，选择相应的器件。

理想的 pn 结 特性如图 3-1 所示:

图 3-1：pn 结理想 特性

§3.2 理想 pn 结伏安特性的局限性

在上一节我们得出了理想 pn 结的 特性，然而这一关系在实际应用中存在四点局限：

• 正偏（第一象限）
  1. 不完全电离
  2. 非对称 pn 结
• 反偏（第三象限）
  1. 由于空间电荷区的深层杂质电离而产生的漏电流
  2. 碰撞电离引发的静态雪崩

反偏的情况留在 Part 3 中单独讨论，这里我们关注正偏的第二点。在功率半导体器件中 p 区和 n 区的掺杂浓度通常不同，其长度也不相同，大部分情况下是 p⁺n^- 结，此时 ，那么反向饱和电流可以写成：

之前我们做过一个耗尽区假设，即所有电场都位于空间载荷区。但在实际应用中，由于 n^- 区的低掺杂，其长度往往远大于 p⁺ 区，那么在高电流密度的情况下多子的漂移运动形成的压降就不可忽视。如果我们用 表示理想 pn 结的正向压降， 表示多子漂移运动产生的压降，总的正向压降（Forward Voltage）可以表示为：

方程（3-6）是 pin 二极管计算正向压降的基础，更详细的讨论放在半导体器件部分讨论。

现在考虑温度和正向压降之间的关系。根据 01-基础知识中 Part 2 的有关知识，我们知道在高温下载流子处于本征激发区，再结合质量作用定律把 用 代替，正向电压大于三个热电压，忽略方程（3-4）中对数中的 项可以得到：

通过方程（3-7）我们又可以推出两点结论：

1. 正向电压的大小和半导体的禁带宽度有关。对于宽禁带半导体（比如 SiC）来说，其正向压降远高于 Si，进而导致更高的导通损耗。为此我们用金属—半导体结来代替 pn 结，只让一种载流子作为电流。这就是目前 SiC 更多的是应用于肖特基二极管和 MOSFET 而几乎不用于 pin 二极管和 IGBT 的原因。

2. 由于 这一项是从 推导而来，故代表了高电流密度。再取对数后温度的影响可以忽略不计。此时正向电压 和温度 成线性反比关系。利用这一关系，我们可以把 pn 结作为温度传感器来估计结温（Junction Temperature），这也是功率循环（Power Cycling）的理论基础。