1. 非平衡载流子的注入与复合

本章将介绍载流子的产生与复合。首先从平衡态引出非平衡态，继而介绍直接和间接的产生复合机制。最后引入碰撞电离这种特殊的产生机制。

§1.1 非平衡与热平衡状态

通过前面的内容我们知道，如果半导体处于热平衡状态，空穴和电子浓度的关系可以表示为：

然而，由于外界因素的影响，半导体中的载流子的热平衡状态会被破坏，从而处于非平衡状态。此时载流子的关系是：

其中 和 统称为过剩载流子（Excess Carriers）。引发非平衡状态的外部条件被称为注入（Injection），一般分为三种：

• 光注入，即光照
• 电注入，即给 pn 结施加正向电场
• 热注入，即温度改变

以光注入为例，电子受到光照得到足够的能量，从价带跃迁到导带称为自由电子，同时在价带留下一个空穴，这样就形成了空穴—电子对。这个过程被称为产生（Generation）。注入条件按照注入量的多少，可以分成：

• 大注入（High Level Injection）
  • （n 型半导体）
  • （p 型半导体）
• 小注入（Low Level Injection）
  • （n 型半导体）
  • （p 型半导体）

特别地，我们会格外关注小注入条件下的过剩少数载流子，因为其浓度相比于平衡态下的少子要大得多，而过剩多子的浓度相比于热平衡状态下的多子可以忽略不计。

当外部条件撤除以后，非平衡状态会逐渐回归平衡状态，过剩的电子从导带回到价带填补空穴。这一过程为称为复合（Recombination）。

有了产生与复合这两个过程，我们就可以对半导体从平衡到非平衡再回归到平衡状态的过程进行建模。为此，我们要考虑两个问题：

1. 如何计算产生与复合的载流子数量？
2. 产生与复合能持续多久？

为了回答这两个问题，我们需要知道以下概念：

• 产生率 与复合率 ，指单位时间、单位体积内产生 / 复合的电子—空穴对数
• 载流子寿命 ，指非平衡载流子（非子）的平均存在时间

有了产生率和复合率，我们就可以用图 1-1 描述上述的平衡与非平衡过程。

图 1-1：非平衡载流子浓度与产生率、复合率的变化

§1.2 带到带复合

§1.2.1 辐射复合

可以想象，不论半导体是否处于热平衡状态，在价带中总是存在大量被电子占据的量子态，而导带基本是空的，所以载流子的产生率与 和 无关，仅与注入条件有关。然而，当电子从导带回到价带并释放光子的复合过程显然与 和 有关，因为浓度越高，复合率就越大。这种（自由电子）直接从导带到价带的复合又被称为直接（Direct）或带到带的辐射（Radiative Band-Band）复合。图 1-2 展示了这种产生与复合过程。

图 1-2：1）直接产生；2）直接复合

如果我们引入一个直接复合概率因子 ，那么直接复合率可以表示为：

那么产生率可以通过热平衡时产生率等于复合率来推出：

接下来考虑非平衡状态。既然电子和空穴成对出现，有：

以 n 型半导体为例，则少子为 ，结合方程（1-2）和（1-5），那么它的净复合率可以表示为：

根据载流子寿命的定义，n 型半导体非平衡少子的寿命可以表示为：

把方程（1-6）代入方程（1-7）有：

p 型半导体的电子寿命也可类比方程（1-7）推出。

根据方程（1-8）还可以进一步总结出各种注入条件下的近似载流子寿命：

• 小注入：
  • n 型：
  • p 型：
  • 本征：
• 大注入：

由此可以归纳出直接复合时载流子寿命的一些规律：

• 小注入时，非子寿命取决于多子的浓度。浓度越高，寿命越短
• 大注入时，非子寿命取决于非子的浓度。浓度越高，寿命越短

需要强调的时，对于 Si 这种间接半导体，由于其导带的最低能量并不与价带最高能量对应，电子跃迁到导带还需要额外的动量，因此直接复合的几率是很小的。为此，我们在下一节来考虑间接复合过程。

§1.2.2 俄歇复合

与辐射复合不同的是，俄歇（Auger）机制下产生与复合的能量被转移到第三个粒子。同时，为了保持动量守恒，需要声子的参与。图 1-3 描述了这种模型。

图 1-3：Auger 模型：1）电子发射；2）空穴捕获；3）空穴发射；4）电子捕获

类比方程（1-6），令 和 分别为俄歇系数，则俄歇复合可表示为：

俄歇复合主要发生在高掺杂区，此时可以只考虑多子而忽略其他载流子浓度，由此可以计算出少子的近似载流子寿命：

• 区：
• 区：

§1.3 间接复合

§1.3.1 陷阱效应

在实际情况中，大部分半导体都是有缺陷（Imperfections）的。所谓缺陷是指在半导体的禁带中存在一些杂质或非周期性的晶格振动。在某些时候，它们可以起到俘获或者发射载流子的作用。这些在禁带中的能量态又被称为陷阱（Trap）。那么陷阱其实充当了施主或受主的角色。我们以受主类型为例，陷阱包含电子则带负电，其浓度用 表示；不包含电子则呈电中性，其浓度用 表示。如果陷阱中未被电子占据的浓度为 ，则它们三者的关系为：

我们分别引入捕获率 和发射率 来描述单位时间、单位体积内复合中心向导带或价带捕获或发射载流子的个数。图 1-4 展示了受主类型的陷阱模型。可以看出，与带到带复合不同的是，位于导带的电子先跃迁到陷阱上，在通过陷阱跃迁至价带来填补空穴。存在于禁带中的这些量子态又被称为产生—复合中心（R/G Centre），这种两段式的复合被称为间接（Indirect）或 Shockley–Read–Hall（SRH） 复合。显然，相比于直接复合，间接复合所需要的能量要小很多，因此也有更多概率发生。

图 1-4：受主陷阱模型：1）电子发射；2）电子俘获；3）空穴俘获；4）空穴发射

如果用 和 来描述空穴和电子激发的几率，则空穴和电子的发射率为：

如果用 和 来描述复合的几率，则空穴和电子的捕获率为：

因此，电子和空穴的净复合率分别为：

§1.3.2 俘获几率和激发几率

在热平衡状态下，捕获电子和发射电子和空穴的概率显然应该相同：

此时陷阱电离出的电子浓度 可以通过陷阱的费米能级求出：

而位于导带的电子浓度和位于价带的空穴浓度分别为：

同时 和 显然也应该满足热平衡条件：

联立方程（1-10）、（1-11）、（1-12）、（1-14）、（1-15）和（1-16）可得：

在复合达到稳态时，电子和空穴的净复合率显然应该相等，因此有：

联立方程（1-17）、（1-18）和（1-19）可以解得：

§1.3.3 载流子寿命

现在讨论以下情况的近似载流子寿命公式：

• 小注入 n 型
• 小注入 p 型
• 大注入
• 空间载荷区（Space Charge）

对于小注入的 n 型半导体，我们只考虑电子在热平衡下的浓度 而忽略其他一切浓度，代入方程（1-20）得到：

同理，对于小注入的 p 型半导体，只考虑 ，代入方程（1-20）得到：

对于大注入条件，只考虑 和 （本质上就是本征半导体的载流子寿命），代入方程（1-20）得到：

特别地，我们要额外考虑 时的产生率（即负的复合率）。 这种情况对应着 pn 结处于反偏状态，空间载荷区内没有自由载流子。代入方程（1-20）得到：

现在，把方程（1-21）、（1-22）和（1-24）反代回方程（1-20）可得：

方程（1-25）就是复合率的最终形态。任何情况下的复合总可以用 , 和 这三个量去表示。

§1.4 碰撞电离

如果半导体位于足够强的电场中，载流子获得足够的动能和晶体发生碰撞，就会额外产生空穴—电子对，这种现象被称为碰撞电离（Impact Ionization）。其实不难发现，碰撞电离在微观上其实就是俄歇过程的产生部分。但是造成它们的原因是不同的。俄歇产生取决于载流子浓度，而碰撞电离取决于电流密度。

由于强场强产生的电流在宏观上会越来越大，最终击穿半导体。这个过程被称为（静态）雪崩（Avalanche）。由此可见，碰撞电离对处于反偏的 pn 结是至关重要的。

令 为碰撞电离率， 为载流子的漂移速度，则动态雪崩的产生率可以表示为：

关于雪崩机制会在推导 pn 结的截止电压和最高场强时做进一步讨论，这里仅给出最基本的产生率公式。

§1.5 小结

机制	发生位置	能量形式	第三粒子参与	应用条件
辐射	带到带	光子	无	直接半导体
俄歇	带到带	声子	有	高掺杂、小注入
SRH	复合中心	无	无	小注入、大注入、高场强
碰撞电离	带到带	声子	有	高场强

2. 电磁场基本知识

为了更好地介绍半导体基本方程，有必要先复习一下电磁场的基本知识。

§2.1 nabla 算子

对于一元函数 求导，可以表示为：

对于三元函数 ，需要分别对三个自变量求偏导，表示为：

现在对三元函数赋予物理意义，对于三维空间，其位置坐标分别为 , 和 。那么对真实世界的物理量进行空间求导时，总是写三个变量显然很麻烦。于是为简化表示，人们引入 nabla 算子，用 表示：

§2.2 梯度、散度和旋度

标量 在三维空间作用于 nabla 算子即表示梯度（Grandient）：

矢量 在三维空间和 nabla 算子做点乘即表示散度（divergence）：

矢量 在三维空间（ 分别是三个方向的单位向量）和 nabla 算子做叉乘即表示旋度（Curl）：

从定义中可以看出：

• 标量的梯度是矢量
• 矢量的散度是标量
• 矢量的旋度是标量

如果某个物理量在一个空间区域中的每一点都有确定值，就称这个区域中存在该物理量的场（Field）。场可以分为：

• 标量场，如温度场和电势场
• 矢量场，如电场和磁场

梯度的物理意义很好理解，就是标量在三个方向上变化率的最大值。这里需要重点说明的是散度和旋度的物理意义。

通过公式可以看出，散度和旋度的运算载体都是矢量。我们引入矢量线来描述矢量场的大小和方向：

• 矢量线上每一点的切线方向代表矢量场的方向
• 通过这一点且和该点矢量场垂直的单位面积上穿过的矢量线条数代表矢量场的大小

根据矢量线的不同，可以把矢量场分为：

• 纵场，其矢量线总是从场中一点出发，止于另外一点或无穷远
• 横场，其矢量线没有起点和终点，总是闭合回线

现在引入通量（Flux），即单位时间内通过的某个曲面的量。对于场内的某一点，它的散度就表示了单位体积穿出的通量。那么散度的物理意义就可以理解为，矢量场内某一点源的强度。更形象地说，就是在某点的矢量线的变化率。对于纵场，由于它的矢量线是有源的，所以散度不为零；而横场的矢量线闭合，所以它的散度为零。

旋度顾名思义就是矢量做旋转运动时的强度。可以想象，如果场内某点受力均匀（即能量守恒），那么这点就不会发生旋转。换言之，只有该点存在能量损失才会发生旋转。所以旋度代表了场内某点能量的变化率。

既然旋度表示旋转，即围绕某一点的运动，那么它的矢量线就是闭合的，所以矢量场的旋度的散度为零，用方程表示为：

§2.3 电场和磁场

现在挑出电场和磁场进行分析：

• 电场线由空间电荷发出，故电场是纵场，散度不为零
• 磁场线是闭合的，故磁场是横场，散度为零

电场线和磁场线如图 2-1 和 2-2 所示：

图 2-1：电场线

图 2-2：磁场线

在高中我们就学过磁电之间的相互影响：

• 法拉第电磁感应：变化的磁场产生感应电流
• 安培环路定律：恒定的电流产生磁场

而磁场和电场中的物理量在表 2-1 中做出总结：

表 2-1：电磁场常用物理量

	通量密度	通量
电场
磁场

这里的物理量 是电场的电通量密度。它还有另外一个名称叫做电位移矢量场（Electric Displacement Field），表示在外部电场 和电极化强度 共同作用下的通量密度：

§2.4 麦克斯韦方程组

现在终于来到了麦克斯韦方程组，如 （2-2）至（2-5）所示：

麦克斯韦方程组用四个方程分别描述了电场和磁场的转换关系：

• 方程（2-2）说明，电通量密度的散度是电荷密度（因为电场线从电荷发出或发入）
• 方程（2-3）说明，电场强度的旋度是磁通量的变化（即法拉第电磁感应定律）
• 方程（2-4）说明，磁场的散度是零（因为磁场线闭合）
• 方程（2-5）说明，磁通量密度的旋度是通路电流密度（Conduct Current Densities）和位移电流密度（Displancement Current Densities）之和（即安培环路电流定理的一般推广）

3. 半导体基本方程

§3.1 泊松方程

现在把麦克斯韦方程组应用到半导体上，考虑施主和受主型陷阱电离（ 和 ），那么电荷密度可以表示为：

把方程（2-1）代入得到：

方程（2-7）就是泊松方程（Poison Equation）。

§3.2 输运方程

输运方程(Transport Equation)在 part 1 中已经提及，这里只写出公式：

§3.3 连续性方程

根据结论：矢量场的旋度的散度为零，代入方程（2-5）可得：

再联系方程（2-1）、（2-2）、（2-6）、（2-8）至（2-11）可得：

方程（2-12）是麦克斯韦方程的电荷守恒（Conservation of Charger）形式。

现在假设杂质浓度和时间无关，并且忽略陷阱浓度，把方程（2-12）分成空穴和电子两部分，并考虑产生与复合，就可以得到：

方程（2-13）和（2-14）就是连续性方程（Continuity Equation）。可以看出，连续性方程结合了载流子的扩散、漂移、产生以及复合过程。